Быстрое Преобразование Фурье

Автор: Алексей Просмотров: 7735

АЛГОРИТМ БЫСТРОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.

Очень важно понимать, что БПФ, это не самостоятельное вычисление, а всего лишь быстрый алгоритм вычисления Дискретного преобразования Фурье. К примеру, для вычисления ДПФ в лоб, вектора длиной 8, необходимо 64 комплексных умножения. Для его же вычисления по алгоритму БПФ нужно всего лишь восемь комплексных умножений!!! И это не предел, если внимательно проанализировать схему вычислений, можно убрать еще 4 тривиальных умножений на 1 и i!!!

Итого всего лишь 4 комплексных умножения для 8 точечного ДПФ. И это не предел. (При этом имеется ввиду, что все т.н. поворачивающие множители вычислены уже заранее). Для примера рассмотрим входной вектор а (вещественный, длиной N=8) и его ДПФ (комплексный вектор у).

Где:

N = 8 Длина преобразуемого вектора.
a - входной вектор
z - ДПФ(а). Далее я его буду обозначать как у, чтобы не вносить путаницу между вычисляемым вектором у и вычисленным при помощи функции Mathcad вектором z
Здесь ДПФ получилось длиной 5, вопреки ожидаемых 8. Как мы увидим позже, остальные три координаты являются сопряженными к трем средним координатам вычисленного вектора, а следовательно тривиальным образом восстанавливаются из них. Это относится исключительно к ДПФ действительного вектора.

Данная процедура уже выполнена Mathcad, она интересна только тем, что есть возможность сравнивать результаты своих вычислений с правильными ответами.

Итак, в основе алгоритма лежит принцип "разделяй и властвуй". Т.е. необходимо представить ДПФ в такой форме, где минимизируется количество комплексных умножений. Остается только минимальный набор. Сразу предупреждаю тех, кто действительно захочет разобраться во всем этом преобразовании изнутри: необходимо будет очень много бумаги, ручка, Mathcad и базовые навыки работы в нем. Все шаги лучше всего расписывать на бумаге, это долго, муторно, но иначе понять будет тяжеловато.

Для начала необходимо определить главный корень из i (мнимая единица):

Именно эта величина и называется главным корнем из -1. В дальнейшем, при расчетах достаточно возводить это значение в нужную степень, либо вычислить степени заранее. Что и будет сделано позже.

Основная формула, это само ДПФ

Здесь:

n=0...N-1 Номер выборки
k=0...N-1 Соответствующее ДПФ

Расписывать полностью формулу не имеет смысла, и так видно, что для вычисления ДПФ "в лоб", чтобы получить каждый у необходимо 8 комплексных умножений для каждого из них (имеется ввиду что W и его степени вычислены заранее, иначе появятся еще дополнительные комплексные умножения). Итого, в результате 64 комплексных умножения. Что достаточно много. И это число будет расти, вместе с увеличением количества выборок и для 64 точечного преобразования будет уже необходимо 4096 комплексных умножений!!!

Итак, суть БПФ, это разбиение входного вектора на ДПФ половинной длины, затем каждый получившийся вектор разбивается еще пополам и т.д. пока не останутся 2 точечные ДПФ. Очевидно что данный алгоритм применим только в том случае, если N является степенью двойки. Есть две разновидности этого алгоритма: с прореживанием по времени и с прореживанием по частоте. Оба этих алгоритма по вычислительной сложности одинаковы. Рассмотрим алгоритм БПФ с прореживанием по времени (берутся сначала четные элементы входного вектора, затем только нечетные, вычисляется их ДПФ и объединяются).

Представим исходное преобразование в виде суммы четных и нечетных элементов:

На всякий случай проверим... Пока все верно...

Слегка упростим и преобразуем выражение для большей осмысленности действий:

Здесь я воспользовался свойствами поворачивающих множителей

Теперь входной массив разбит на две части, четную и нечетную. Оба выражения под знаком суммы и есть ДПФ четных и нечетных элементов. Вычислив обе суммы, просто складываем их, домножив на соответствующий поворачивающий множитель. В итоге получается ДПФ исходного вектора.

Следуем дальше принципу разделяй и властвуй. Снова делим каждое ДПФ на четные и нечетные элементы:

Пока вроде бы все верно. Теперь попробуем переписать формулу в развернутом виде. Это просто необходимо, чтобы понять все математические трюки, лежащие в основе БПФ.

Статья находится в разработке